Question

若對(duì)任意的x∈D，均有f₁（x）≤f（x）≤f₂（x）成立，則稱函數(shù)f（x）為函數(shù)f₁（x）到函數(shù)f₂（x）在區(qū)間D上的“折中函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=（k-1）x-1，g（x）=0，h（x）=（x+1）lnx，且f（x）是g（x）到h（x）在區(qū)間[1，2e]上的“折中函數(shù)”，則實(shí)數(shù)k的值構(gòu)成的集合是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：在區(qū)間[1，2e]上分g（x）≤f（x）及f（x）≤h（x）兩種情況考慮即可．

解答： 解：根據(jù)題意，可得0≤（k-1）x-1≤（x+1）lnx在x∈[1，2e]上恒成立．
當(dāng)x∈[1，2e]時(shí)，函數(shù)f（x）=（k-1）x-1的圖象為一條線段，
于是，

f(1)≥0 f(2e)≥0

，解得k≥2．
另一方面，k-1≤

(x+1)lnx+1

x

在x∈[1，2e]上恒成立．
令m(x)=

(x+1)lnx+1

x

=lnx+

lnx

x

+

1

x

，
則m′(x)=

x-lnx

x2

．
由于1≤x≤2e，
所以(x-lnx)′=1-

1

x

≥0，
于是函數(shù)x-lnx為增函數(shù)，
從而x-lnx≥1-ln1＞0，
所以m′（x）≥0，
則函數(shù)m（x）為[1，2e]上的增函數(shù)．
所以k-1≤[m（x）]_min=m（1）=1，
即k≤2．
綜上，k=2．
故答案為：{2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題．