Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足a²+b²-c²=ab，若△ABC的周長為3，則△ABC的面積最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：由余弦定理和已知可得C=

π

3

，由a+b+c=3，即c=3-（a+b），又由余弦定理得9-6（a+b）+（a+b）²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，整理可得即3ab+9=6（a+b），
而 a+b≥2

ab

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，從而可解得：

ab

≥3或

ab

≤1，從而可求得△ABC的面積S=

1

2

absinC≤

1

2

×

3

2

×1=

3

4

．

解答： 解：∵△ABC中，a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∴C=

π

3

，
∵a+b+c=3，即c=3-（a+b），
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即9-6（a+b）+（a+b）²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
∴即3ab+9=6（a+b），
而 a+b≥2

ab

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，
即3ab+9≥12

ab

，
即ab-4

ab

+3≥0，
可解得：

ab

≥3或

ab

≤1，
∴△ABC的面積S=

1

2

absinC≤

1

2

×

3

2

×1=

3

4

，
故答案為：

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了余弦定理的應(yīng)用，不等式的解法，屬于中檔題．