Question

已知函數(shù)，x∈[1，+∞）
（1）若f（x）=0在x∈[1，+∞）上有解，求a的取值范圍；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）=0在x∈[1，+∞）上有解，即=0在[1，+∞）上有解，等價(jià)于x²+2x+a=0在[1，+∞）上有解，…3′
令g（x）=x²+2x+a，則g（x）=（x+1）²+a-1的對(duì)稱軸為x=-1，
∴當(dāng)g（1）≤0時(shí)，g（x）=（x+1）²+a-1的圖象在[1，+∞）上與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，即x²+2x+a=0在[1，+∞）上有解．
由g（1）≤0得3+a≤0，即a≤-3…．（6分）
（2）設(shè)1≤x₁＜x₂，則
=…（9分）
∵f（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，可得x₁x₂＞a，而x₁x₂＞1，
∴a≤1…（12分）
分析：（1）將f（x）=0在x∈[1，+∞）上有解，轉(zhuǎn)化為x²+2x+a=0在[1，+∞）上有解，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²+2x+a，由g（1）≤0即可求得a的取值范圍；
（2）設(shè)1≤x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）=，根據(jù)題意可得a≤1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，將f（x）=0在x∈[1，+∞）上有解，轉(zhuǎn)化為x²+2x+a=0在[1，+∞）上有解是關(guān)鍵，突出考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．