Question

函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）證明f（-x）=-f（x）；
（4）對(duì)f（x），當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，有f（1-m）+f（1-m²）＜0 求m值的集合M．

Answer 1

分析：（1）f（x）=1-

2

2x+1

，利用指數(shù)函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)即可求得函數(shù)值域；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷證明；
（3）利用分式性質(zhì)對(duì)f（-x）進(jìn)行變形即可得到與f（x）的關(guān)系；
（4）利用函數(shù)的單調(diào)性及（3）的結(jié)論，可把該抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體二次不等式，注意考慮定義域，解不等式組即可；

解答：解：（1）f（x）=1-

2

2x+1

，
因?yàn)?^x＞0，所以0＜

2

2x+1

＜2，-2＜-

2

2x+1

＜0，
所以-1＜1-

2

2x+1

＜1，即-1＜f（x）＜1，
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．
（2）f（x）為增函數(shù)，下面證明：
設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1+1

）-（1-

2

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
因?yàn)閤₁＜x₂，所以2x1＜2x2，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
證明：（3）f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
所以原式成立；
（4）f（1-m）+f（1-m²）＜0⇒f（1-m）＜-f（1-m²），
由（3）知-f（1-m²）=f（m²-1），
所以f（1-m）＜f（m²-1），
又由（2）知f（x）單調(diào)遞增，
所以有

-1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1 1-m＜m2-1

，解得1＜m＜

2

．
所以實(shí)數(shù)m的集合M={m|1＜m＜

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查抽象不等式的求解，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解決本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)性質(zhì)把抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．