Question

如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N (異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設計，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)．

Answer 1

解法一：設∠AMN＝θ，在△AMN中，

因為MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ． ………………2分

在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． …………………6分

AP²＝AM²＋MP²－2 AM·MP·cos∠AMP

＝sin²(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ)         ………………………………8分

＝sin²(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4

＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4

＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋

＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)．                 

    當且僅當2θ＋150°＝270°，即θ＝60°時，AP²取得最大值12，即AP取得最大值2．

答：設計∠AMN為60時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最�。�

解法二(構造直角三角形)：

設∠PMD＝θ，在△PMD中，

∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．           ……………2分

在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，

AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥時，結論也正確)．……………6分

AP²＝AD²＋PD²＝(sinθ＋2cosθ)²＋(2sinθ)²

＝sin²θ＋sinθcosθ＋4cos²θ＋4sin²θ                  

＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋

 此時AM＝AN＝2，∠PAB＝30°                        

解法三：設AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．

在△AMN中，因為MN＝2，∠MAN＝60°，

所以MN²＝AM²＋AN²－2 AM·AN·cos∠MAN，

即x²＋y²－2xycos60°＝x²＋y²－xy＝4．                

因為x²＋y²－xy＝4，4＋xy＝x²＋y²≥2xy，即xy≤4．

所以AP²≤12，即AP≤2．

當且僅當x＝y＝2時，AP取得最大值2．        

    答：設計AM＝AN＝2 km時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最�。�              

解法四(坐標法)：以AB所在的直線為x軸，A為坐標原點，建立直角坐標系．

設M(x₁，0)，N(x₂，x₂)，P(x₀，y₀)．∵MN＝2，

∴(x₁－x₂)²＋3x＝4．                               

＝4＋4x₁x₂≤4＋4×2＝12，                    即AP≤2．                            

   答：設計AM＝AN＝2 km時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最�。� 解法五(變換法)：以AB所在的直線為x軸，A為坐標原點，建立直角坐標系．

設M(x₁，0)，N(x₂，x₂)，P(x₀，y₀)．

∵MN＝2，∴(x₁－x₂)²＋3x＝4．即x＋4x＝4＋2x₁x₂

∴4＋2x₁x₂≥4x₁x₂，即x₁x₂≤2．      …………………4分

∵△MNP為正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．

x₀－x₁＝(x₂－x₁)＋x₂，y₀＝－(x₂－x₁)＋x₂．

∴x₀＝2x₂＋x₁，y₀＝x₁．                      

∴AP²＝x＋y＝(2x₂＋x₁)²＋x＝x＋4x＋2x₁x₂  

＝4＋4x₁x₂≤4＋4×2＝12，                  即AP≤2．                             

答：設計AM＝AN＝2 km時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最�。�

解法六(幾何法)：由運動的相對性，可使△PMN不動，點A在運動．

由于∠MAN＝60°，∴點A在以MN為弦的一段圓弧(優(yōu)弧)上，

設圓弧所在的圓的圓心為F，半徑為R，

由圖形的幾何性質(zhì)知：AP的最大值為PF＋R．           

在△AMN中，由正弦定理知：＝2R，

∴R＝，                                   

∴FM＝FN＝R＝，又PM＝PN，∴PF是線段MN的垂直平分線．

設PF與MN交于E，則FE²＝FM²－ME²＝R²－1²＝．

即FE＝，又PE＝．                           

∴PF＝，∴AP的最大值為PF＋R＝2．             

答：設計AM＝AN＝2 km時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小．