Question

15．設(shè)函數(shù)$f（x）=\sqrt{|{2x+1}|+|{2x-2}|-a}$．
（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，$f（x）=\sqrt{|{2x+1}|+|{2x-2}|-5}$，即|2x+1|+|2x-2|≥5，討論x的取值，去掉絕對(duì)值，求出x的取值范圍；
（Ⅱ）由題意|2x+1|+|2x-2|-a≥0恒成立，即|2x+1|+|2x-2|≥a，求出|（2x+1）+（2x-2）|的最小值，即得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，$f（x）=\sqrt{|{2x+1}|+|{2x-2}|-5}$，
令|2x+1|+|2x-2|-5≥0，得|2x+1|+|2x-2|≥5，
則$\left\{\begin{array}{l}{x≤-\frac{1}{2}}\\{-（2x+1）-（2x-2）≥5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤1}\\{（2x+1）-（2x-2）≥5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{（2x+1）+（2x-2）≥5}\end{array}\right.$，
解得x≤-1或∅或$x≥\frac{3}{2}$．
故函數(shù)f（x）的定義域是$（-∞，-\frac{1}{2}）∪[\frac{3}{2}，+∞）$；
（Ⅱ）由題設(shè)知，當(dāng)x∈R時(shí)，恒有|2x+1|+|2x-2|-a≥0，
即|2x+1|+|2x-2|≥a．
又|2x+1|+|2x-2|≥|（2x+1）+（2x-2）|=3，
∴a≤3，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有絕對(duì)值的不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)對(duì)絕對(duì)值進(jìn)行討論，以便去掉絕對(duì)值，是中檔題．