Question

【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A（n）=a1+a2+…+an ， B（n）=a2+a3+…+an+1 ， C（n）=a3+a4+…+an+2 ， n=1，2，…．
（1）若a1=1，a2=5，且對(duì)任意n∈N* ， 三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
（2）證明：數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意n∈N* ， 三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵對(duì)任意n∈N*，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，

∴B（n）﹣A（n）=C（n）﹣B（n），

即an+1﹣a1=an+2﹣a2，亦即an+2﹣an+1=a2﹣a1=4．

故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，于是an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3

（2）

證明：（必要性）：若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，對(duì)任意n∈N*，有an+1=anq．由an＞0知，A（n），B（n），C（n）均大于0，于是

= = =q，

= = =q，

即 = =q，

∴三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列；

（充分性）：若對(duì)任意n∈N*，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列，則

B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），

于是C（n）﹣B（n）=q[B（n）﹣A（n）]，即an+2﹣a2=q（an+1﹣a1），亦即an+2﹣qan+1=a2﹣qa1．

由n=1時(shí)，B（1）=qA（1），即a2=qa1，從而an+2﹣qan+1=0．

∵an＞0，

∴ = =q．故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列．

綜上所述，數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意n∈N*，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列

【解析】（1）由于對(duì)任意n∈N* ， 三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，可得到B（n）﹣A（n）=C（n）﹣B（n），即an+1﹣a1=an+2﹣a2 ， 整理即可得數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，從而可得an ． （2）必要性：由數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，可證得即 = =q，即必要性成立；充分性：若對(duì)任意n∈N* ， 三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列，可得an+2﹣qan+1=a2﹣qa1 ． 由n=1時(shí)，B（1）=qA（1），即a2=qa1 ， 從而an+2﹣qan+1=0，即充分性成立，于是結(jié)論得證．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等比關(guān)系的確定和等差數(shù)列的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷；在等差數(shù)列{an}中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列才能正確解答此題．