Question

如圖，鐵路線上AC段長(zhǎng)99km，工廠B到鐵路的距離BC為20km，現(xiàn)在要在AC上某一點(diǎn)D處，向B修一條公路，已知鐵路每噸千米與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為λ（0＜λ＜1），為了使從A到B的運(yùn)費(fèi)最省，D應(yīng)選在離C距離多遠(yuǎn)處．

Answer 1

解：設(shè)∠BDC=α，總運(yùn)費(fèi)為T(mén)，鐵路和公路每公里的運(yùn)費(fèi)分別為λ和1
則T=99
∴T′=
由導(dǎo)數(shù)為0得，cosα=λ
且cosα∈（0，λ）時(shí)單調(diào)減，cosα∈（λ，+∞） 時(shí)單調(diào)增
∴cosα=λ時(shí)，T取極小值，且為最小值
此時(shí)DC=km
分析：設(shè)∠BDC=α，總運(yùn)費(fèi)為T(mén)，鐵路和公路每公里的運(yùn)費(fèi)分別為λ和1，則可構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法可求最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為證題，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，關(guān)鍵是引入角，從而用導(dǎo)數(shù)法求解．