Question

已知定義在上的三個(gè)函數(shù)，，，且在處取得極值．
（1）求a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立．

Answer 1

（1），單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．

試題分析：解題思路：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用求值，再利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）作差，構(gòu)造函數(shù)，求最值，即證明不等式恒成立．規(guī)律總結(jié)：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：①求導(dǎo)函數(shù)；②解；③得到區(qū)間即為所求單調(diào)區(qū)間；（2）證明不等式恒成立問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題．
試題解析：（1），，，
∴．
而，，令得；令 得．∴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．
（2）∵，∴，∴，
欲證，只需要證明，即證明．
記，∴，
當(dāng)時(shí)，，∴在上是增函數(shù)，
∴，∴，即，
∴，故結(jié)論成立．