Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₂=7，a₅=16，數(shù)列{b_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，且b₁=2，點(diǎn)（log₂b_n，log₂b_n+1）在直線y=x+1上．
（1）求{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由“數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₂=7，a₅=16”，建立首項(xiàng)和公差的方程組，再由通項(xiàng)公式求通項(xiàng)；由“數(shù)列{b_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，且b₁=2，點(diǎn)（log₂b_n，log₂b_n+1）在直線y=x+1”求得公比，再由通項(xiàng)公式求通項(xiàng)；（2）由（1）得到數(shù)列{c_n}，根據(jù)其特點(diǎn)，是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)積的形式，選擇錯(cuò)位相減法求解．
解答：解：根據(jù)題意：

a_n=3n+1
log₂b_n+1=log₂b_n+1
b_n+1=2b_n+1
q=2
b_n=2ⁿ
（2）c_n=（3n+1）2ⁿ
s_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=42¹+72²+…+（3n+1）2ⁿ①
2s_n=42²+72³+…+（3n+1）2ⁿ⁺¹②
①-②得：-s_n=2³+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n+1）2ⁿ⁺¹
∴s_n=32ⁿ⁺¹-4-（3n+1）2ⁿ⁺¹
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，還考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬常規(guī)題，應(yīng)熟練掌握．