Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)（1,0），且與直線相切.
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；
（2）設(shè)是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和,①當(dāng)時(shí)，求證直線恒過(guò)一定點(diǎn)；
②若為定值，直線是否仍恒過(guò)一定點(diǎn)，若存在，試求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）①參考解析，②

試題分析：（1）根據(jù)題意可假設(shè)拋物線方程為，由拋物線的定義可求得的值，從而可求得拋物線的方程.
（2）根據(jù)題意假設(shè)直線AB的方程，聯(lián)立拋物線的方程，消去y得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)的等式.①由直線的垂直可得到A,B坐標(biāo)的一個(gè)等式，從而可化簡(jiǎn)直線AB的方程即可得到結(jié)論.②當(dāng)為一個(gè)一般的定值時(shí)，需要分類討論，解決問(wèn)題的方法類似于①小題，同樣是通過(guò)A,B的斜率關(guān)系得到一個(gè)等式，從而得到結(jié)論.
試題解析：(1)設(shè)動(dòng)圓圓心M(x,y),
依題意點(diǎn)M的軌跡是以(1,0)為焦點(diǎn),直線x=－1為準(zhǔn)線的拋物線其方程為.
(2)設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).由題意得x₁≠x₂(否則)且x₁x₂≠0,則
所以直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,
則將y=kx+b與y²=4x聯(lián)立消去x,得ky²－4y+4b=0
由韋達(dá)定理得-------※
①當(dāng)=時(shí),所以,所以y₁y₂=16,又由※知:y₁y₂=所以b=4k;因此直線AB的方程可表示為y=kx+4k,所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(－4,0).
②當(dāng)為定值時(shí).若=,由①知,
直線AB恒過(guò)定點(diǎn)M(－4,0)當(dāng)時(shí),由,得==
將※式代入上式整理化簡(jiǎn)可得:,所以,此時(shí),直線AB的方程可表示為y=kx+,所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)所以當(dāng)時(shí),直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(－4,0).,
當(dāng)時(shí)直線AB恒過(guò)定點(diǎn)