Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ex-1

x

．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）證明：對任意正數(shù)a，存在正數(shù)x，使不等式f（x）-1＜a成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意知：f′（x）=

xex-(ex-1)

x2

=

(x-1)ex+1

x2

，構(gòu)造函數(shù)h（x）=（x-1）e^x+1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能推導(dǎo)出f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（2）不等式f（x）-1＜a可化為e^x-（a+1）x-1＜0，令G（x）=e^x-（a+1）x-1，得G′（x）=e^x-（a+1），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明存在正數(shù)x=ln（a+1），使不等式F（x）-1＜a成立．

解答： （1）解：由題意知：f′（x）=

xex-(ex-1)

x2

=

(x-1)ex+1

x2

，
令h（x）=（x-1）e^x+1，則h′（x）=x e^x＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，又h（0）=0，
∴h（x）＞0，則f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（2）證明：f（x）-1=

ex-x-1

x

，
不等式f（x）-1＜a可化為e^x-（a+1）x-1＜0，
令G（x）=e^x-（a+1）x-1，得G′（x）=e^x-（a+1），
由G′（x）=0得：x=ln（a+1），
當(dāng)0＜x＜（ln（a+1）時(shí)，
G′（x）＜0，當(dāng)x＞ln（a+1）時(shí)，G′（x）＞0，
∴當(dāng)x=ln（a+1）時(shí)，G（x）_min=a-（a+1）ln（a+1），
令ϕ（a）=

a

a+1

-ln（a+1），（a≥0），
ϕ′（a）=

1

(a+1)2

-

1

a+1

=-

a

(a+1)2

＜0，
又ϕ（0）=0，∴當(dāng)a＞0時(shí)，ϕ（a）＜ϕ（0）=0，
即當(dāng)x=ln（a+1）時(shí)，G（x）_min=a-（a+1）ln（a+1）＜0．
故存在正數(shù)x=ln（a+1），使不等式F（x）-1＜a成立．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．