Question

 

    已知函數的圖象在點處的切線方程為

   （Ⅰ）求實數的值；

   （Ⅱ）設是[2，+∞）上的增函數。

        （i）求實數的最大值；

        （ii）當取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由。

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本小題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想，滿分14分.

解法一：

   （I）由及題設得即

   （II）（i）由

得

上的增函數，上恒成立，

即上恒成立，

設

，

即不等式上恒成立，

當時，設在上恒成立，

當時，設

因為，所以函數在上單調遞增,\

因此

，即

又

綜上，m的最大值為3.

   （ii）由（i）得其圖象關于點成中心對稱.

證明如下：

    因此，

    上式表明，若點為函數的圖象上的任意一點，

    則點也一定在函數的圖象上，

    而線段AB中點恒為點Q，

    由此即知函數的圖象關于點Q成中心對稱。

    這也就表明，存在點，使得過點Q的直線若能與函數的圖象圍成兩個封閉圖形，

    則這兩個封閉圖形的面積總相等。

    解法二：

   （Ⅰ）同解法一。

   （Ⅱ）（i）由

    得

    是[2，+∞）上的增函數，

    在[2，+∞）上恒成立，

    即在[2，+∞）上恒成立。

    設

   

    即不等式在[1，+∞）上恒成立。

    所以在[1，+∞）上恒成立。

    所以，可得，

    故，好的最大值為3。

   （ii）由（i）得

    將函數的圖象向左平移1個長度單位，再向下平移個長度單位，所得圖象相應的函數解析式為

    由于，所以為奇函數，

    故的圖象關于坐標原點成中心對稱。

    由此即得，函數的圖象關于點成中心對稱。

    這也就表明，存在點，使得過點Q的直線若能與函數的圖象圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等。