Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-B₁的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)AB₁，交A₁B于點(diǎn)O，連結(jié)OD，利用三角形的中位線定理，推導(dǎo)出OD∥B₁C，由此能夠證明B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DC為x軸，以DB為y軸，以過D點(diǎn)垂直于AC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A₁-BD-B₁的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）連結(jié)AB₁，交A₁B于點(diǎn)O，連結(jié)OD，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=3，
∴ABB₁A₁是正方形，∴O是AB₁的中點(diǎn)，
∵D是AC的中點(diǎn)，∴OD是△ACB₁的中位線，∴OD∥B₁C，
∵B₁C不包含于平面A₁BD，OD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DC為x軸，以DB為y軸，
以過D點(diǎn)垂直于AC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中點(diǎn)，
∴A₁（-1，0，3），B（0，2

2

，0），
D（0，0，0），B₁（0，2

2

，3），
∴

DA1

=（-1，0，3），

DB

=（0，2

2

，0），

DB1

=（0，2

2

，3），
設(shè)平面A₁BD的法向量

m

=(x，y，z)，則

m

•

DA1

=0，

m

•

DB

=0，
∴

-x+3z=0 2 2 y=0

，∴

m

=（3，0，1），
設(shè)平面B₁BD的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），則

n

•

DB1

=0，

n

•

DB

=0，
∴

2 2 y1+3z1=0 2 2 y1=0

，∴

n

=（1，0，0），
設(shè)二面角A₁-BD-B₁的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

3

10

|=

3 10

10

．
∴二面角A₁-BD-B₁的余弦值為

3 10

10

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運(yùn)用．