Question

已知函數(shù)f（x）=2x³+px+r，g（x）=15x²+qlnx（p，q，r∈R）．
（I）當r=-35時f（x）和g（x）在x=1處有共同的切線，求p、q的值；
（II）已知函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在x=1處取得極大值-13，在x=x₁和x=x₂（x₁≠x₂）處取得極小值h（x₁）和h（x₂），若h（x₁）+h（x₂）＜kln3-10成立，求整數(shù)k的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 由題意得：，代入可求p，q
（Ⅱ）由題意可得代入可得p，qr的關系，代入到h′（x）中，若h（x₁）+h（x₂）＜kln3-10成立，則只要h（x₁）+h（x₂）的最大值＜kln3-10，從而可求k
解答：解：（Ⅰ） f′（x）=6x²+p，，
由題意得：，故，解得：．      （5分）
（Ⅱ）∵h（x）=f（x）-g（x）=2x³+px+r-15x²-qlnx，
∴．
由得：，得．
∴=．
由題意知h（x）在x=x₁和x=x₂處取得極小值，則0＜x₁＜1＜x₂，
設m（x）=6x²-24x+p-24，則，從而24＜p＜42．
且，設x₁x₂=t，則0＜t＜3
.
=
=-112+6•x₁x₂+2p-（p-24）ln（x₁x₂）
=-112+6t+12t+48-6tlnt
=-64+18t-6tlnt．             （6分）
設F（t）=-64+18t-6tlnt，
則F′（t）=18-（6lnt+6）=6（2-lnt）＞0，
∴F（t）在（0，3）上是增函數(shù)，
∴h（x₁）+h（x₂）＜F（3）=-10-18ln3．
則kln3-10≥-10-18ln3，從而k≥-18．
即：所求的k的最小值為-18．
點評：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的基本應用，函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值的相互轉(zhuǎn)化關系的應用，還考查了計算的能力，屬于綜合性試題