Question

已知曲線x²+y+1=0與雙曲線x²-

y2

b2

=1（b＞0）的漸近線相切，則此雙曲線的焦距等于（　�。�

• A、2

  2

• B、2

  3

• C、4
• D、2

  5

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出雙曲線的漸近線方程，以及函數(shù)y=-x²-1的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，求出切線的斜率，得到方程，解方程即可得到切點(diǎn)和b的值，進(jìn)而得到雙曲線的c，即有焦距2c．

解答： 解：雙曲線x²-

y2

b2

=1（b＞0）的漸近線方程為y=±bx，
曲線x²+y+1=0，即為y=-x²-1，y′=-2x，
可設(shè)切點(diǎn)為（m，n），（m＞0），
則-b=-2m，n=-m²-1，n=-bm，
解得，m=1，b=2，n=-2．
則雙曲線的c=

1+b2

=

5

，
則焦距為2

5

．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．