Question

13．已知函數(shù)f（x）=|lgx|，若0＜a＜b且f（a）=f（b），則a+2b的取值范圍為（3，+∞）．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的圖象，則數(shù)形結合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，再將所求a+2b化為關于a的一元函數(shù)，利用函數(shù)單調性求函數(shù)的值域即可．

解答 解：畫出y=|lgx|的圖象如圖：
∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1
∴-lga=lgb
即ab=1
∴y=a+2b=a+$\frac{2}{a}$，a∈（0，1）
∵y=a+$\frac{2}{a}$在（0，1）上為減函數(shù)，
∴y＞1+2=3
∴a+2b的取值范圍是（3，+∞）
故答案為：（3，+∞）

點評 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，利用“對勾”函數(shù)（或基本不等式）求函數(shù)值域的方法，數(shù)形結合的思想方法，轉化化歸的思想方法，難度中檔．