Question

如圖，在各棱長(zhǎng)都相等且底面為正方形的四棱錐P-ABCD中，E為PD的中點(diǎn)．
（1）畫(huà)出過(guò)A、E兩點(diǎn)且與直線(xiàn)DC平行的平面與四棱錐的截面，并證明你的畫(huà)法是正確的；
（2）若（1）中截面與PC交于點(diǎn)F，求異面直線(xiàn)DC與AF所成角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì),異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PC中點(diǎn)F，則過(guò)A、E兩點(diǎn)且與直線(xiàn)DC平行的平面為平面AEFB，四棱錐的截面為P-ABEF．
（2）由DC∥AB，知∠BAF就是異面直線(xiàn)DC與AF所成角，由已知條件，結(jié)合勾股定理能求出異面直線(xiàn)DC與AF所成角的大小．

解答： 解：（1）取PC中點(diǎn)F，連結(jié)AE，EF，BF，
則過(guò)A、E兩點(diǎn)且與直線(xiàn)DC平行的平面為平面AEFB，
四棱錐的截面為P-ABEF．
∵E是PD的中點(diǎn)，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，
∴EF∥DC，
∵CD不包含于平面AEFB，EF?平面AEFB，
∴DC∥平面AEFB．
（2）設(shè)四棱錐的棱長(zhǎng)為a，
∵四棱錐P-ABCD中，各棱長(zhǎng)都相等且底面為正方形，E為PD的中點(diǎn)，
∴AC=

a2+a2

=

2

a，BF=

a2-( 1 2 a)2

=

3

2

a，
∵PA=PC=a，∴PA²+PC²=AC²，
∴∠APC=90°，∴AF=

a2+( 1 2 a)2

=

5

2

a，
∴cos∠BAF=

AF2+AB2-BF2

2AF•AB

=

5 4 a2+a2- 3 2 a2

5 2 a•a

=

3 5

10

，
∵DC∥AB，∴∠BAF就是異面直線(xiàn)DC與AF所成角，
∴異面直線(xiàn)DC與AF所成角為arccos

3 5

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查截面的作法及證明，考查異面直線(xiàn)所成角的大小的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，是中檔題．