Question

給出以下結(jié)論：
①甲從四面體中任意選擇一條棱，乙也從該四面體中任意選擇一條棱，則所得的兩條棱所在的直線是異面直線的概率是

1

6

；
②關(guān)于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，則a的取值范圍是a＜2

2

；
③若關(guān)于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈(0，1)上沒有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k≥2；
④函數(shù)f（x）=e^x-x-2（x≥0）有一個零點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論是

①④

（填上所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析：通過四面體的特征判斷①的正誤；
利用三角函數(shù)的最小值判斷②的正誤；
利用方程沒有實(shí)數(shù)根求出k的范圍，判斷③的正誤；
利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)判斷④的正誤；

解答：解：四面體中任意選擇一條棱，共有六種情況，而異面直線有三對，①正確；
sin2x+

2

sin2x

中sinx=1時，取得最小值為3，∴a＜3，所以②不正確；
關(guān)于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈(0，1)上沒有實(shí)數(shù)根，即函數(shù)f（x）=x-

1

x

與直線y=-k在x∈（0，1）時無交點(diǎn)，又函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
故k的取值范圍是k≤0，③不正確；
對于④函數(shù)f（x）=e^x-x-2可得f′（x）=e^x-1，故x＞0時函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
又f（0）=e⁰-2=-1＜0，f（2）=e²-4＞0，所以函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，
④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評：本題是綜合題，考查四面體的特征，函數(shù)的最值，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的零點(diǎn)等知識，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．