Question

在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取2個(gè)頂點(diǎn)所得的所有直線中任取2條，則所取的2條成一對(duì)異面直線的概率為（　�。�

• A．

  70

  C 2 28

• B．

  58

  C 2 28

• C．

  210

  C 2 28

• D．

  174

  C 2 28

Answer 1

分析：根據(jù)題意，首先由正方體的結(jié)構(gòu)特征，可得從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取2個(gè)頂點(diǎn)，可以確定28條直線，再由組合數(shù)公式可得一共可以得到有C₂₈²組直線，進(jìn)而分類討論其中直線異面的情況，可得異面直線的組數(shù)，由等可能事件的概率公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取2個(gè)頂點(diǎn)，有C₈²=28種取法，即可以確定28條直線，
從這28條直線中，任取2條，有C₂₈²種取法，即可以確定C₂₈²組直線，
其中異面的情況有：
①、棱與棱異面：每條棱有4條棱與其異面，共有情況

1

2

×12×4=24組，
②、棱與面對(duì)角線異面：每條棱有6條面對(duì)角線與其異面，共有情況12×6=72組，
③、棱與體對(duì)角線異面：每條棱有2條面對(duì)角線與其異面，共有情況12×2=24組，
④、面對(duì)角線與面對(duì)角線異面：每條面對(duì)角線與5條面對(duì)角線異面，共有情況

1

2

×12×5=30組，
⑤、面對(duì)角線與體對(duì)角線異面：每條面對(duì)角線與2條面對(duì)角線異面，共有情況12×2=24組，
則異面直線的組數(shù)為24+72+24+30+24=174組，
所取的2條成一對(duì)異面直線的概率為

174

C 2 28

；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率計(jì)算與正方體的結(jié)構(gòu)特征，涉及異面直線的判斷方法，難點(diǎn)是分類討論，確定異面直線的組數(shù)．