Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）證明：當x＞1時，恒成立．

Answer 1

（1）解：求導數(shù)可得f′（x）=a+lnx+1
∵函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，-----------------------（3分）
（2）證明：由（1）知，f（x）=x+xlnx，
令，則，-----------------------（5分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），則，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．…（7分）
因為h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當1＜x＜x₀時，h（x）＜0，即g'（x）＜0，
當x＞x₀時，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）
所以函數(shù)在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以．
因為x₀＞3，所以x＞1時，恒成立 …（12分）
分析：（1）求導數(shù)，利用函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3，可得f′（e）=3，從而可求實數(shù)a的值；
（2）構(gòu)造，求導函數(shù)可得，令h（x）=x-lnx-2（x＞1），確定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實根x₀，且滿足x₀∈（3，4），進而可得在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，求出最小值，即可得證．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題時構(gòu)造函數(shù)是關鍵．