Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

．
（1）用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）取得最大值和最小值時(shí)的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先化簡(jiǎn)求出函數(shù)的解析式，然后列表描點(diǎn)即可用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）令2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，2x+

π

3

=2kπ+

3π

2

，k∈Z，從而可求函數(shù)f（x）取得最大值和最小值時(shí)的集合．

解答： 解：（1）f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

（1+cos2x）-

3

2

=sin（2x+

π

3

）
列表：…（6分）

x	- π 6	π 12	π 3	7π 12	5π 6
2x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
y	0	1	0	-1	0

描點(diǎn)、連線如圖所示．…（12分）

（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，可解得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z；
（3）由f（x）_max=1，可解得2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，從而有x=kπ+

π

12

，k∈Z；
由f（x）_min=-1，可解得2x+

π

3

=2kπ+

3π

2

，k∈Z，從而有x=kπ+

7π

12

，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．