【題目】已知四邊形是梯形，如圖，，，，為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（如圖2），且

（1）求證：平面平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）連接，取的中點(diǎn)，連接，，，作于，根據(jù)勾股定理逆定理得到，證明平面，得到答案.

（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的一個(gè)法向量為，再利用向量夾角公式得到答案.

（1）連接，因?yàn)?/span>，，，為的中點(diǎn)，，所以四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，且.

取的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)?/span>，所以，，，

作于，則.

因?yàn)?/span>，，，所以，故.

因?yàn)?/span>，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）由（1）知平面，.以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>，所以，，，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則得

即，令，則，，所以.

因?yàn)?/span>，設(shè)與平面所成的角為，

則，

即與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖甲，E是邊長(zhǎng)等于2的正方形的邊CD的中點(diǎn)，以AE、BE為折痕將△ADE與△BCE折起，使D，C重合(仍記為D)，如圖乙.

（1）探索:折疊形成的幾何體中直線DE的幾何性質(zhì)(寫出一條即可，不含DE⊥DA，DE⊥DB，說(shuō)明理由)；

（2）求二面角D-BE-A的余弦值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一，他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)，并作為計(jì)算圓的周長(zhǎng)，面積已經(jīng)圓周率的基礎(chǔ)，劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值，這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確數(shù)據(jù).如圖，當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時(shí)，某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn)，計(jì)算得出該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269，那么通過(guò)該實(shí)驗(yàn)計(jì)算出來(lái)的圓周率近似值為（參考數(shù)據(jù)：）

A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】體溫是人體健康狀況的直接反應(yīng)，一般認(rèn)為成年人腋下溫度T（單位：）平均在之間即為正常體溫，超過(guò)即為發(fā)熱．發(fā)熱狀態(tài)下，不同體溫可分成以下三種發(fā)熱類型：低熱：；高熱：；超高熱（有生命危險(xiǎn)）：．某位患者因患肺炎發(fā)熱，于12日至26日住院治療．醫(yī)生根據(jù)病情變化，從14日開(kāi)始，以3天為一個(gè)療程，分別用三種不同的抗生素為該患者進(jìn)行消炎退熱．住院期間，患者每天上午8：00服藥，護(hù)士每天下午16：00為患者測(cè)量腋下體溫記錄如下：

抗生素使用情況

沒(méi)有使用

使用“抗生素A”療

使用“抗生素B”治療

日期

12日

13日

14日

15日

16日

17日

18日

19日

體溫（）

38.7

39.4

39.7

40.1

39.9

39.2

38.9

39.0

抗生素使用情況

使用“抗生素C”治療

沒(méi)有使用

日期

20日

21日

22日

23日

24日

25日

26日

體溫（）

38.4

38.0

37.6

37.1

36.8

36.6

36.3

（I）請(qǐng)你計(jì)算住院期間該患者體溫不低于的各天體溫平均值；

（II）在19日—23日期間，醫(yī)生會(huì)隨機(jī)選取3天在測(cè)量體溫的同時(shí)為該患者進(jìn)行某一特殊項(xiàng)目“a項(xiàng)目”的檢查，記X為高熱體溫下做“a項(xiàng)目”檢查的天數(shù)，試求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（III）抗生素治療一般在服藥后2-8個(gè)小時(shí)就能出現(xiàn)血液濃度的高峰，開(kāi)始?xì)缂?xì)菌，達(dá)到消炎退熱效果．假設(shè)三種抗生素治療效果相互獨(dú)立，請(qǐng)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷哪種抗生素治療效果最佳，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為2，拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)C的左焦點(diǎn)F.

（1）求C與M的方程；

（2）直線l經(jīng)過(guò)C的上頂點(diǎn)且l與M交于P，Q兩點(diǎn)，直線FP，FQ與M分別交于點(diǎn)D（異于點(diǎn)P），E（異于點(diǎn)Q），證明:直線DE的斜率為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一，他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)，并作為計(jì)算圓的周長(zhǎng)，面積已經(jīng)圓周率的基礎(chǔ)，劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值，這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確數(shù)據(jù).如圖，當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時(shí)，某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn)，計(jì)算得出該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269，那么通過(guò)該實(shí)驗(yàn)計(jì)算出來(lái)的圓周率近似值為（參考數(shù)據(jù)：）

A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線過(guò)點(diǎn)，傾斜角為．

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直三棱柱中，，，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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