Question

四棱錐P-ABCD中，PA上平面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，四邊形ABCE為菱形，∠BAD=120°，PA=AB，G，F(xiàn)分別是線段CE，PB上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足．
（1）求證：FG∥平面PDC；
（2）求λ的值，使得二面角F-CD-G的平面角的正切值為．

Answer 1

【答案】分析：法一：（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，不妨設(shè)PA=2，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求得平面PDC的法向量，證明，即可證明FG∥平面PCD
（2）求出平面PCD的法向量，，利用向量的夾角公式建立方程，即可求得結(jié)論；
法二：（1）延長(zhǎng)BG交CD于Q，連PQ，BE，證明FG∥PQ，即可證得FG∥平面PCD；
（2）作FM⊥AB于M，作MN⊥CD于N，連FN，則FN⊥CD，∠FNM為二面角F-CD-G的平面角，利用二面角F-CD-G的平面角的正切值為，即可求得結(jié)論．
解答：法一：（1）證明：如圖以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，不妨
設(shè)PA=2，
則A（0，0，0），P（0，0，2），B（，-1.0），C（，1，0），D（0，4，0）．
由，得F（λ，-λ，2-2λ），G（，1+λ，0），=（，1+2λ，-2+2λ），
設(shè)平面PCD的法向量，則由，，
可得，取
∴，∴
∵FG?平面PDC，∴FG∥平面PCD
（2）解：，
設(shè)平面PCD的法向量為，則由，
∴，可取
∵tanθ=，∴
∵為平面GCD的法向量
∴=
∴8λ²-14λ+5=0，∴或（舍去）
∴
法二：（1）證明：延長(zhǎng)BG交CD于Q，連PQ，BE，平行四邊形BEDC，則BE∥CQ，∴．
 又∵PF：FB=CG：GE，則QG：GB=PF：FB，∴FG∥PQ．
∵FG?平面PCD，PQ?平面PCD．
∴FG∥平面PCD
（2）解：作FM⊥AB于M，作MN⊥CD于N，連FN，則FN⊥CD，∴∠FNM為二面角F-CD-G的平面角．
，不妨設(shè)PA=2，則FM=2（1-λ）=BM，MN=2-λ．
由tan∠FNM=得，即．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，屬于中檔題．