Question

A，B是焦點為F的拋物線y²=4x上的兩動點，線段AB的中點M在直線x=t（t＞0）上．
（1）當t=1時，求|FA|+|FB|的值．
（2）當M（2，2）時，求直線AB的方程．
（3）記|AB|的最大值為g（t），求g（t）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：

分析：（1）利用橢圓的定義及線段AB的中點M在定直線x=t （t＞0）上，可求|FA|+|FB|的值．
（2）利用點差法能求出直線AB的方程．
（3）設(shè)直線AB的方程為x-t=

m

2

（y-m），將直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得|AB|的表達式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最大值，從而解決問題．

解答： 解：（1）y²=4x的焦點坐標是F（1，0），準線方程是x=-1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1
∴|FA|+|FB|=（x₁+x₂）+2
∵線段AB的中點M在定直線x=t （t＜0）上
∴x₁+x₂=2t，
∴|FA|+|FB|=2t+2；
∵t=1，∴|FA|+|FB|=4．
（2）∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（2，2），
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=4，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入y²=4x，得：

y12=4x1 y22=4x2

，兩式相減，得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），k=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴直線AB的方程：y-2=x-2，即y=x．
（3）由

y12=4x1 y22=4x2

，得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴

x1-x2

y1-y2

=

y1+y2

4

=

m

2

故可設(shè)直線AB的方程為x-t=

m

2

（y-m）
即x=

m

2

y-

m2

2

+t，
聯(lián)立

x= m 2 y- m2 2 +t y2=4x

，消去x得y²-2my+2m²-4t=0，
y₁+y₂=2m，y₁y₂=2m²-4t，
∴|AB|=

(1+ m2 4 )(4m2-8m2+16t)

=

4(t+1)2-[m2-2(t-1)]2

，
∵△=-4m²+16t＞0，∴0≤m²＜4t，
∴g（t）=|AB|_max=

4(t+1)2

=2t+2．

點評：本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．