Question

17．在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）．某公司每月最多生產(chǎn)100臺(tái)報(bào)警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x（x∈N^*）臺(tái)的收入函數(shù)為R（x）=3000x+ax²（單位：元），其成本函數(shù)為C（x）=kx+4000（單位：元），利潤(rùn)是收入與成本之差．當(dāng)生產(chǎn)10臺(tái)時(shí)，成本為9000元，利潤(rùn)為19000元．
（1）求利潤(rùn)函數(shù)P（x）及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）；
（2）利潤(rùn)函數(shù)P（x）與邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）是否具有相同的最大值？

Answer 1

分析 （1）k=500，a=-20，利用利潤(rùn)等于收入與成本之差代入可得利潤(rùn)函數(shù)P（x）的表達(dá)式，進(jìn)而利用邊際函數(shù)的定義可得邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）的表達(dá)式；
（2）通過(guò)（1）分別計(jì)算出各自的最大值，進(jìn)而比較即得結(jié)論．

解答 解：（1）k=500，a=-20，P（x）=R（x）-C（x）=（3 000x-20x²）-（500x+4 000）
=-20x²+2 500x-4 000（x∈[1，100]且x∈N）
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）²+2 500（x+1）-4 000-（-20x²+2 500x-4 000）
=2 480-40x （x∈[1，100]且x∈N）．
（2）P（x）=-20（x-$\frac{125}{2}）$²+74 125，當(dāng)x=62或63時(shí)，P（x）_max=74 120（元）．
因?yàn)镸P（x）=2 480-40x是減函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，MP（x）_max=2 440（元）．
因此，利潤(rùn)函數(shù)P（x）與邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）不具有相同的最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．