Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD
（1）求證：AB⊥平面PAD；
（2）若AD=1，AB=

3

，BC=4，求直線AB與平面PDC所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)，可得PD⊥AB，結合底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，利用線面性質(zhì)的判定定理可得AB⊥平面PAD；
（2）過D作DF∥AB交BC于F，過點F作FG⊥CD交CD于G，可得∠FDG為直線AB與平面PDC所成的角，從而可得結論．

解答：（1）證明：∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴PD⊥AB，
∵底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，
∴AB⊥AD
∵PD∩AD=D，∴AB⊥平面PAD；
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDC
∴平面PDC⊥平面ABCD．
過D作DF∥AB交BC于F，過點F作FG⊥CD交CD于G，則∠FDG為直線AB與平面PDC所成的角．

在Rt△DFC中，∠DFC=90°，DF=

3

，CF=3，
∴tan∠FDG=

3

，∴∠FDG=60°．
即直線AB與平面PDC所成角為60°．

點評：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．