精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

已知橢圓C： $數(shù)學公式$ （a＞b＞0）的左右焦點F₁、F₂與短軸一端點的連線互相垂直，M為橢圓上任一點，且△MF₁F₂的面積最大值為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設圓A：x²+y²=r²（r＞0）的切線l與橢圓C交于P、Q兩點，且 $數(shù)學公式$ $數(shù)學公式$ =0，求半徑r的值．

解：（1）橢圓 $\text{[math]}$ 中，由題意可知 $\text{[math]}$ ，∴b=c=1，∴ $\text{[math]}$
∴橢圓方程為 $\text{[math]}$ …（6分）
（2）l斜率不存在時，l方程為x=±r，此時 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$
∵OP⊥OQ，∴ $\text{[math]}$ …（8分）
l斜率存在時，設l方程為y=kx+m則 $\text{[math]}$ 即 m²=r²（1+k²）
設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），聯(lián)立l與橢圓方程 $\text{[math]}$ ，消元可得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0…（10分）
∴ $\text{[math]}$
∵OP⊥OQ，∴ $\text{[math]}$
∵m²=r²（1+k²），∴3r²（1+k²）-2（1+k²）=0
∴ $\text{[math]}$
綜上所述 $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（1）根據(jù)焦點F₁、F₂與短軸一端點的連線互相垂直，△MF₁F₂的面積最大值為1，可建立方程組，即可求得橢圓方程；
（2）l斜率不存在時，l方程為x=±r，求出P、Q的坐標，利用OP⊥OQ，可求半徑r的值；l斜率存在時，設l方程為y=kx+m則可得m²=r²（1+k²），聯(lián)立l與橢圓方程 $\text{[math]}$ ，利用OP⊥OQ及韋達定理可求半徑r的值．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查圓的切線，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理解題．

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已知橢圓C：

（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率為

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知一直線l過橢圓C的右焦點F₂，交橢圓于點A、B．
（�。┤魸M足

（O為坐標原點），求△AOB的面積；
（ⅱ）當直線l與兩坐標軸都不垂直時，在x軸上是否總存在一點P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補角？若存在，求出P坐標；若不存在，請說明理由．

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（13分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（﹣1，0），F(xiàn)₂（1，0），且橢圓C經(jīng)過點．

（I）求橢圓C的離心率：

（II）設過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且，求點Q的軌跡方程．

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（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個頂點為A（2,0），離心率為，直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點M、N.

①求橢圓C的方程.

②當⊿AMN的面積為時，求k的值.

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