Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1-a_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，令b_n=

Sn+8

an

．
①求數(shù)列{b_n}的最小項；
②若t≤b_n對?n∈N^*恒成立，求整數(shù)t的最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意可知數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）得b_n=

Sn+8

an

=

n(n+1) 2 +8

n

=

n

2

+

8

n

+

1

2

≥2

n 2 × 8 n

+

1

2

=

9

2

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1-a_n=1．
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）①由（1）得s_n=

n(n+1)

2

，
∴b_n=

Sn+8

an

=

n(n+1) 2 +8

n

=

n

2

+

8

n

+

1

2

≥2

n 2 × 8 n

+

1

2

=

9

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

n

2

=

8

n

即n=4時，b_n有最小值為

9

2

．
②若t≤b_n對?n∈N^*恒成立，只要t≤（b_n）_min即可，
故由①可得，t≤

9

2

．
∴整數(shù)t的最大值是4．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義，通項公式及求和公式，考查恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．