Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+cos（x-），x∈R．
（I）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間及f（x）圖象的對(duì)稱軸方程；
（II）設(shè)△ABC中，角A、B的對(duì)邊分別為a、b，若B=2A，且b=2af（A-），求角C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）將函數(shù)表達(dá)式展開合并，再用輔助角公式化簡(jiǎn)，得f（x）=sin（x+）．再根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱軸的公式，不難求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間及f（x）圖象的對(duì)稱軸方程；
（2）由b=2af（A-）結(jié)合（1）的表達(dá)式，得b=2asinA，再用正弦定理結(jié)合二倍角的正弦公式，算出cosA=sinA，得tanA=，結(jié)合特殊角的正切值得到A=，所以B=2A=，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得角C的大小．
解答：解   （1）f（x）=sinx+cos（x-）=sinx+cosx+sinx=sinx+cosx
∴f（x）=（sinxcos+cosxsin）=sin（x+）
令-+2kπ≤x+≤+2kπ，（k∈Z），得-+2kπ≤x≤+2kπ
單調(diào)增區(qū)間為[-+2kπ，+2kπ]，（k∈Z）
再設(shè)x+=+kπ，（k∈Z），得x=+kπ，（k∈Z），即為f（x）圖象的對(duì)稱軸方程；
（2）∵f（A-）=sin[（A-）+]=sinA，
∴b=2af（A-）=2asinA，
∵b：a=sinB：sinA，
∴sinB=2sinAsinA，即2sinAcosA=2sinAsinA
∵A是三角形內(nèi)角，sinA＞0
∴2cosA=2sinA，得tanA=
∵A∈（0，π），∴A=，得B=2A=
因此，C=π-（A+B）=
點(diǎn)評(píng)：本題將一個(gè)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和圖象的對(duì)稱軸，著重考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系和二倍的三角函數(shù)等知識(shí)，屬于中檔題．