Question

已知

p

=（1+

3

cos2x，1），

q

=（-1，sin2x+n）（x∈R，n∈N^*），且f（x）=

p

•

q

．
（Ⅰ）在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且c=3，△ABC的面積為3

3

，當(dāng)n=1時(shí)，f（A）=

3

，求a的值．
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為a_n（a_n為數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式），設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：b₁=

1

2

，且n≥2時(shí)b_n=

1

an-1•an

，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，若對(duì)?n∈N^*，T_n≤k（n+4），求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,余弦定理的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題（Ⅰ）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)f（x），結(jié)合簡(jiǎn)單的三角方程，求出角A，再利用正弦面積公式，求出b的值，用余弦定理求出a 的值，得到本題結(jié)論；（Ⅱ）根據(jù)題目中的相等關(guān)系，先進(jìn)行數(shù)列的求和，再將參變量分離，通過(guò)基本不等式，研究關(guān)于n的函數(shù)式的最值，從而求出數(shù)k的取值范圍，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵

p

=（1+

3

cos2x，1），

q

=（-1，sin2x+n）（x∈R，n∈N^*），且f（x）=

p

•

q

，
∴f（x）=-1-

3

cos2x+sin2x+n，
=sin2x-

3

cos2x+n+1
=2sin(2x-

π

3

)+n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，
由f(A)=

3

得：2sin(2A-

π

3

)=

3

，
∴sin(2A-

π

3

)=

3

2

，
又△ABC是銳角三角形，∴-

π

3

＜2A-

π

3

＜

2π

3

∴2A-

π

3

=

π

3

即A=

π

3

，
又由S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

b×

3

2

=3

3

，
得：b=4，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=42+32-2×4×3×

1

2

=13，
∴a=

13

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)=2sin(2x-

π

3

)+n-1
由0≤x≤

π

2

，可得：
-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

時(shí)，
∴sin(2x-

π

3

)=1，
∴f（x）取最大值為n+1，
∴a_n=n+1．
由b₁=

1

2

滿足bn=

1

an-1•an

=

1

n(n+1)

，
∴b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n∈N^*），
T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∵

n

n+1

≤k（n+4），
∴k≥

n

(n+1)(n+4)

=

n

n2+5n+4

=

1

n+ 4 n +5

．
∵n+

4

n

+5≥2

n× 4 n

+5=9，
當(dāng)且僅當(dāng)n=

4

n

，即n=2時(shí)等號(hào)成立，
∴

1

n+ 4 n +5

≤

1

9

，
∴k≥

1

9

，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為[

1

9

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、三角函數(shù)化簡(jiǎn)、正余弦定理、數(shù)列求和、基本不等式，還考查了參變量分離的技巧，本題有一定的綜合性，難度適中，計(jì)算量大，屬于中檔題．