Question

甲、乙倆人各進行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為．
（Ⅰ）記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ；
（Ⅱ）求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得甲擊中目標(biāo)的次數(shù)ξ為0、1、2、3，根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式得到變量對應(yīng)的概率，當(dāng)變量為0時表示沒有擊中目標(biāo)，當(dāng)變量為1時表示擊中目標(biāo)1次，當(dāng)變量為2時表示擊中目標(biāo)2次，當(dāng)變量為3時表示擊中目標(biāo)3次，寫出分布列和期望．
（2）乙至多擊中目標(biāo)2次的對立事件是乙能擊中3次，由對立事件的概率公式得到要求的概率．
（3）甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次包含甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次和甲恰擊中目標(biāo)3次且乙恰擊中目標(biāo)1次，且這兩種情況是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果．
解答：解：（I）由題意得甲擊中目標(biāo)的次數(shù)ξ為0、1、2、3，
根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式得到變量對應(yīng)的概率，
當(dāng)變量為0時表示沒有擊中目標(biāo)，
當(dāng)變量為1時表示擊中目標(biāo)1次，
當(dāng)變量為2時表示擊中目標(biāo)2次，
當(dāng)變量為3時表示擊中目標(biāo)3次，
∴P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
∴ξ的概率分布如下表：

Eξ=O•+1•+2•+3•=1.5，（或Eξ=3•=1.5）；

（II）乙至多擊中目標(biāo)2次的對立事件是乙能擊中3次，
有對立事件的概率公式得到
概率為1-=；

（III）設(shè)甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A，甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次為事件B₁，
甲恰擊中目標(biāo)3次且乙恰擊中目標(biāo)1次為事件B₂，
則A=B₁+B₂，
B₁，B₂為互斥事件P（A）=P（B₂）=•+•=
∴甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為．
點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，注意滿足獨立重復(fù)試驗的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點也是重點，這種題目高考必考，應(yīng)注意解題的格式．