Question

已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：∵y＝f(x)經(jīng)過原點(diǎn)，∴f(x)＝ax2＋bx(a≠0)． 　　∴f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b． 　　∴ 　　∴f(－2)＝4a－2b．設(shè)f(－2)＝m·(a＋b)＋n·(a－b)＝(m＋n)·a＋(m－n)·b＝4a－2b． 　　∴ 　　∴ 　　∴f(－2)＝a＋b＋3(a－b)． 　　∵3≤a＋b≤4，3≤3(a－b)≤6， 　　∴6≤f(－2)≤10． 　　解法二：∵y＝f(x)的圖象過原點(diǎn)， 　　∴f(x)＝ax2＋bx(a≠0)． 　　∴f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b． 　　∴ 　　作出二元一次方程組所表示的aOb平面內(nèi)的平面區(qū)域(如圖)即可行域． 　　考慮z＝4a－2b，將它變形為b＝2a－z，這是斜率為2，隨z變化的一組平行直線．－z是直線在b軸上的截距，當(dāng)直線截距最大時(shí)，z的值最�。�(dāng)然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)z＝4a－2b取得最小值；當(dāng)直線截距最小時(shí)，z的值最大．當(dāng)然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)z＝4a－2b取得最大值． 　　由圖可見，當(dāng)直線z＝4a－2b經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時(shí)截距最大，即z最小． 　　解方程組得A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，1)，所以zmin＝4a－2b＝4×2－2×1＝6． 　　當(dāng)直線z＝4a－2b經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B時(shí)，截距最小，即z最大． 　　解方程組得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，1)． 　　所以zmax＝4×3－2×1＝10，所以6≤f(－2)≤10．