Question

（本小題滿分12分）

設函數(為自然對數的底數)，（）．

（1）證明：；

（2）當時，比較與的大小，并說明理由；

（3）證明：（）．

 

Answer 1

【答案】

（1）設，即函數在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得唯一極小值。

（2）用數學歸納法證明即可；

（3）證明1：先證對任意正整數，，再證對任意正整數，

．

即要證明對任意正整數，不等式（*）成立，以下可以數學歸納法證明。

【解析】                                                        

試題分析：（1）設，所以

當時，，當時，，當時，．

即函數在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得唯一極小值，…2分

因為，所以對任意實數均有 ．即，

所以

（2）當時，．用數學歸納法證明如下：

①當時，由（1）知。

②假設當（）時，對任意均有，

令，，

因為對任意的正實數，，

由歸納假設知，．

即在上為增函數，亦即，

因為，所以．從而對任意，有．

即對任意，有．這就是說，當時，對任意，也有．由①、②知，當時，都有．

（3）證明1：先證對任意正整數，．

由（2）知，當時，對任意正整數，都有．令，得．所以．

再證對任意正整數，

．

要證明上式，只需證明對任意正整數，不等式成立．

即要證明對任意正整數，不等式（*）成立

以下分別用數學歸納法和基本不等式法證明不等式（*）：

方法1（數學歸納法）：

①當時，成立，所以不等式（*）成立．

②假設當（）時，不等式（*）成立，即．

則．

因為 

所以．

這說明當時，不等式（*）也成立．由①、②知，對任意正整數，不等式（*）都成立．

綜上可知，對任意正整數，成立 。

考點：數學歸納法；利用導數研究函數的單調性；二項式系數的性質。

點評：本小題主要考查函數、導數、不等式、數學歸納法、二項式定理等知識，考查數形結合、化歸與轉化、分類與討論的數學思想方法，以及運算求解能力．題目較難，對學生的能力要求較高，我們在做題時，能得滿分就得滿分，不能得滿分的盡量多得步驟分。