Question

如圖，已知∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動點，且＝＝λ．

(1)求證：平面BEF⊥平面ABC．

(2)當(dāng)λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：由AB⊥平面BCD，知AB⊥CD． 　　又由∠BCD＝90°，知CD⊥BC， 　　所以CD⊥平面ABC． 　　由＝，知EF∥CD， 　　所以EF⊥平面ABC． 　　因為EF平面BEF，所以平面BEF⊥平面ABC． 　　(2)解：由CD⊥平面ABC，知CD⊥BE． 　　又CD∥EF，所以BE⊥EF． 　　要使平面BEF⊥平面ACD， 　　只需BE⊥平面ACD，進(jìn)而只需滿足BE⊥AC． 　　由BC＝CD＝1，及∠BCD＝90°，得BD＝． 　　又∠ADB＝60°，及∠ABD＝90°，得AB＝． 　　在Rt△ABC中，AC＝＝． 　　因為∠ABC＝∠AEB＝90°，且∠BAC＝∠EAB， 　　所以△ABC∽△AEB，從而＝， 　　則AE＝＝，此時，λ＝＝． 　　故當(dāng)λ＝時，平面BEF⊥平面ACD． 　　點評：線線垂直線面垂直面面垂直，這是一個基本的轉(zhuǎn)化思路．對于兩個平面垂直問題，同學(xué)們可以此為思路，用好判定定理．