Question

已知函數(shù)y=f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）≠0
（1）記；
（2）在（1）的條件下，設(shè)證明：
（i）對(duì)任意的n∈N^*
（ii） n∈N^*．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)f（x+y）=f（x）•f（y）對(duì)于任意的x∈R均成立，可得f（n+1）=f（n）•f（1），即a_n+1=a_n•a₁，從而可得{a_n}是以a₁為首項(xiàng)，a₁為公比的等比數(shù)列，再利用成等比數(shù)列，即可求得；
（2）在（1）的條件下，，知，
（i）右邊=，化簡配方可得，從而可得原不等式成立；
（ii）由（i）知，對(duì)任意的x＞0，有c₁+c₂+…+c_n≥，取）=，即可證明原不等式成立．
解答：解：（1）∵f（x+y）=f（x）•f（y）對(duì)于任意的x∈R均成立，
∴f（n+1）=f（n）•f（1），即a_n+1=a_n•a₁．（2分）
∵f（1）≠0，∴，
∴{a_n}是以a₁為首項(xiàng)，a₁為公比的等比數(shù)列，∴．
當(dāng)a₁=1時(shí)，a_n=1，S_n=n，此時(shí)b_n=2n+1，{b_n}不是等比數(shù)列，∴a₁≠1．
∵成等比數(shù)列，
∴b₁，b₂，b₃成等比數(shù)列，即．
∵，
解得．（5分）
（2）在（1）的條件下，，知，
（i） =
=
=≤c_n，
∴原不等式成立．（8分）
（ii）由（i）知，對(duì)任意的x＞0，有=（9分）
∴取）=，（11分）
則．
∴原不等式成立．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查賦值法的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的求和公式，解題的關(guān)鍵是利用配方法證明不等式，屬于中檔題．