Question

已知命題p：“方程

x2

1 2

+

y2

a

=1是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”，命題q：“關(guān)于x的方程ax²+2x+1=0至少有一個負(fù)實(shí)根”．若“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程的特點(diǎn)求出命題p為真命題的a的范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象求出命題q為真命題的a的范圍，根據(jù)復(fù)合命題與構(gòu)成其簡單命題真假的關(guān)系，通過分類討論求出a的范圍．

解答：解：若命題p為真命題?a＞

1

2

．…3分
關(guān)于x的方程ax²+2x+1=0至少有一個負(fù)實(shí)根
?關(guān)于x的方程ax²+2x+1=0有兩個負(fù)實(shí)根或一正一負(fù)兩根或只有一根且為負(fù)數(shù)．…5分
①方程有兩個負(fù)實(shí)根?

a≠0 △=4-4a≥0 - 2 a ＜0 1 a ＞0

?0＜a≤1；    …7分
②方程有一正一負(fù)兩根?a＜0；                     …9分
③方程只有一個根且為負(fù)數(shù)?a=0．…10分
故命題q為真命題?a≤1．…11分
因為“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，
所以命題p與q恰有一個為真命題．…12分
若p真q假，則a＞1；若p假q真，則a≤

1

2

．…13分
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，  

1

2

]∪(1，  +∞)．…14分

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合命題的真假與構(gòu)成其簡單命題真假的關(guān)系；考查結(jié)合二次函數(shù)的圖象解決二次方程的實(shí)根分布問題，屬于中檔題．