Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．設(shè)b_n=S_n-3ⁿ，數(shù)列{b_n}的通項公式是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：依題意得S_n+1=2S_n+3ⁿ，由此可知S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ），結(jié)合已知可知數(shù)列{b_n}在a≠3時為等比數(shù)列，求出通項公式后驗證a=3時成立，則答案可求．

解答： 解：由a_n+1=S_n+3ⁿ，
得Sn+1-Sn=Sn+3n，
∴Sn+1=2Sn+3n．
則Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)．
∵b_n=S_n-3ⁿ，
∴bn+1=Sn+1-3n+1．
故b_n+1=2b_n．
當a≠3時，b₁=a-3≠0．
數(shù)列{b_n}是以2為公比的等比數(shù)列，
∴bn=(a-3)•2n-1．
驗證a=3時上式成立．
∴bn=(a-3)•2n-1．
故答案為：bn=(a-3)•2n-1．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，解答的關(guān)鍵是構(gòu)造出等比數(shù)列，是中檔題．