Question

（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

已知均為正數(shù)，證明：，并確定為何值時(shí)，等號(hào)成立。

 

Answer 1

【答案】

證明：見(jiàn)解析

【解析】考查放縮法在證明不等式中的應(yīng)用，本題在在用縮法時(shí)多次用到基本不等式，請(qǐng)讀者體會(huì)本題證明過(guò)程中不考慮等號(hào)是否成立的原理，并與利用基本不等式求最值再據(jù)最值成立的條件求參數(shù)題型比較．深入分析等號(hào)成立的條件什么時(shí)候必須考慮，什么時(shí)候可以不考慮．

證法一：兩次利用基本不等式放小，此處不用考慮等號(hào)成立的條件，因等號(hào)不成立不影響不等號(hào)的傳遞性．

證法二：先用基本不等式推出a²+b²+c²≥ab+bc+ac與 1a² +1 b² +1c² ≥1 ab +1 bc +1 ac

兩者之和用基本不等式放小，整體上只用了一次放縮法．其本質(zhì)與證法一同．

證明：（證法一）

因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由平均值不等式得

                     ①

所以                   ②        

故.

又       ③

所以原不等式成立.                                

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，①式和②式等號(hào)成立。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

③式等號(hào)成立。

即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)，原式等號(hào)成立。

（證法二）

因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得

所以               ①

同理            ②               

故

         ③

所以原不等式成立.                            

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，①式和②式等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，時(shí)，③式等號(hào)成立。

即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)，原式等號(hào)成立。