Question

已知函數(shù)f（x）=1-2a^x-a^2x（0＜a＜1）
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若x∈[-2，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為-7，求a的值和函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用換元法，再進(jìn)行配方，即可求得函數(shù)f（x）的值域；
（2）原因，求得函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)f（x）的最小值為-7，可求a的值，從而可得函數(shù)f（x） 的最大值．

解答：解：（1）令t=a^x，則t＞0，∴g（t）=1-2t-t²=-（t+1）²+2
∵t＞0，∴g（t）＜1，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，1）；
（2）∵x∈[-2，1]，0＜a＜1，∴t∈[a，

1

a2

]
∴g（t）=1-2t-t²在[a，

1

a2

]上是減函數(shù)
∴t=

1

a2

時(shí)，g（t）_min=-

1

a4

-

2

a2

+1=-7
∴a=

2

2

或a=-

2

2

（舍去）
∴t=a=

2

2

時(shí)，g（t）有最大值，即g（t）_max=

1

2

-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值與值域，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．