精英家教網(wǎng)如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點，點P（-1，1）為圓O上一點．曲線C是以AB為長軸，離心率為
2
2
的橢圓，點F為其右焦點．過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準線l于點Q．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）證明：直線PQ與圓O相切．
分析：（1）由題意，得a=
2
，e=
2
2
，c=1，b2=1．由此可知橢圓C的標準方程為
x2
2
+y2=1．
（2）由題意知直線OQ的方程為y=2x，又橢圓的右準線方程為x=2，所以Q（2，4），kPQ=
4-1
2-(-1)
=1．由此可知OP⊥PQ．所以直線PQ與圓O相切．
解答：解：（1）由題意，得a=
2
，e=
2
2
，
∴c=1，∴b2=1．
所以橢圓C的標準方程為
x2
2
+y2=1．（6分）
（2）∵P（-1，1），F(xiàn)（1，0），
∴kPF=-
1
2
，∴kOQ=2．
所以直線OQ的方程為y=2x．（10分）
又橢圓的右準線方程為x=2，所以Q（2，4），所以kPQ=
4-1
2-(-1)
=1．
又kOP=-1，所以kPQ•kOP=-1，即OP⊥PQ．
故直線PQ與圓O相切．（15分）
點評：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時要注意公式的靈活運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知圓O：x2+y2=1，O為坐標原點．
（1）邊長為
2
的正方形ABCD的頂點A、B均在圓O上，C、D在圓O外，當點A在圓O上運動時，C點的軌跡為E．
①求軌跡E的方程；
②過軌跡E上一定點P（x0，y0）作相互垂直的兩條直線l1，l2，并且使它們分別與圓O、軌跡E相交，設(shè)l1被圓O截得的弦長為a，設(shè)l2被軌跡E截得的弦長為b，求a+b的最大值．
（2）正方形ABCD的一邊AB為圓O的一條弦，求線段OC長度的最值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A、B兩點，P在圓O上運動（不與A、B重合），過P作直線l1，OS垂直于l1交直線l2：x=-3于點S．
（1）求證：“如果直線l1過點T（-1，0），那么
OP
•
PS
=1”為真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分15分）如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為的橢圓，其右焦點為F．若點P(－1,1)為圓O上一點，連結(jié)PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準線l于點Q．（1）求橢圓C的標準方程；

（2）證明：直線PQ與圓O相切．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點，點P(－1,1)為圓O上一點．曲線C是以AB為長軸，離心率為的橢圓，點F為其右焦點．

過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準線l于點Q．

（1）求橢圓C的標準方程；（2）證明：直線PQ與圓O相切．

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