Question

已知函數f（x）在（-1，1）上有定義，f（

1

2

）=-1，且滿足x，y∈（-1，1）時，有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），數列{x_n}中，x₁=

1

2

，x_n+1=

2xn

1+xn2

．
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數；
（2）求數列{f（x_n）}的通項公式；?
（3）求證：

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

＞-

2n+5

n+2

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）令x=y=0，得f（0）=0，令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，由此能證明f（x）為奇函數．
（2）由f（x₁）=f（

1

2

）=-1，得

f(xn+1)

f(xn)

=2，即{f（x_n）}是以-1為首項，2為公比的等比數列，由此能求出f（x_n）=-2^n-1．
（3）

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

=-（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）=-2+

1

2n-1

＞-2，-

2n+5

n+2

=-（2+

1

n+2

）=-2-

1

n+2

＜-2，由此能證明

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

＞-

2n+5

n+2

．

解答： （1）證明：令x=y=0，
∴2f（0）=f（0），解得f（0）=0，（2分）
令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數．…（4分）
（2）解：f（x₁）=f（

1

2

）=-1，
f（x_n+1）=f（

2xn

1+xn

）=f（

xn+xn

1+xnxn

）=2f（x_n），（6分）
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2，即{f（x_n）}是以-1為首項，2為公比的等比數列，
∴f（x_n）=-2^n-1．（8分）
（3）解：

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

=-（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）
=-

1- 1 2n

1- 1 2

=-（2-

1

2n-1

）
=-2+

1

2n-1

＞-2，（10分）
∵-

2n+5

n+2

=-（2+

1

n+2

）=-2-

1

n+2

＜-2，（11分）
∴

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

＞-

2n+5

n+2

．（12分）

點評：本題考查函數為奇函數的證明，考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要注意等比數列的性質的合理運用．