如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,E、F是AA1、AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:直線EE1∥平面FCC1;
(Ⅱ)求二面角B-FC1-C的余弦值.

【答案】分析:(Ⅰ)構(gòu)造DM⊥CD,則以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,欲證直線EE1∥平面FCC1,只需證明垂直于平面FCC1的法向量即可.其中的坐標(biāo)由點(diǎn)E、E1的坐標(biāo)易得,而平面FCC1的法向量需設(shè)出后根據(jù)其與垂直得到.
(Ⅱ)在(Ⅰ)所建立的空間直角坐標(biāo)系中,平面FCC1的法向量已求得,而平面BFC1的法向量可設(shè)出后由其與垂直得到,此時(shí)求出兩法向量的夾角余弦值,則易得二面角B-FC1-C的余弦值.
解答:(Ⅰ)證明:因?yàn)锳B=4,BC=CD=2,F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn),
所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,
因?yàn)锳BCD為等腰梯形,所以∠BAD=∠ABC=60°,
取AF的中點(diǎn)M,并連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),A(,-1,0),F(xiàn)(,1,0),C(0,2,0),
C1(0,2,2),E(,,0),E1,-1,1),
所以,
,,
設(shè)平面CC1F的法向量為
所以

,
所以,所以直線EE1∥平面FCC1

(Ⅱ)解:,
設(shè)平面BFC1的法向量為,
所以,
,
,
,
所以
由圖可知二面角B-FC1-C為銳角,所以二面角B-FC1-C的余弦值為
點(diǎn)評(píng):本題主要考查向量法解決空間問(wèn)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

18、如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分別是棱AD,AA1的中點(diǎn),F(xiàn)為AB的中點(diǎn).證明:
(1)EE1∥平面FCC1
(2)平面D1AC⊥平面BB1C1C.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

18、如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分別是棱AD,AA1的中點(diǎn).
(1)設(shè)F是棱AB的中點(diǎn),證明:直線EE1∥平面FCC1;
(2)證明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

15、如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面A1BC1;
(2)求證:平面D1DBB1⊥平面A1BC1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F(xiàn)分別是棱AD,AA1,AB的中點(diǎn).
(1)證明:直線EE1∥平面FCC1;
(2)求二面角B-FC1-C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2010•撫州模擬)如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,∠ABC=60°,BB1=BC=2,M為BC中點(diǎn),點(diǎn)N在CC1上.
(1)試確定點(diǎn)N的位置,使AB1⊥MN;
(2)當(dāng)AB1⊥MN時(shí),求二面角M-AB1-N的正切值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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