Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0
（1）證明：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）若f（1）=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（t²-k）＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，再令y=-x即可證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）在R上任取x₁，x₂，且x₁＞x₂，由f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＞0可判斷f（x）在R上單調(diào)遞增，于是可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）利用f（x）在R上單調(diào)遞增，脫掉函數(shù)符號即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答：證明：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0…（1分）
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x-x）=f（x）+f（-x）=0
∴-f（x）=f（-x）…（3分）
∵f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱．
∴f（x）是奇函數(shù)．…（4分）
（2）在R上任取x₁，x₂，且x₁＞x_2，
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）
∵x₁-x₂＞0，
∴f（x₁-x₂）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即：f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上單調(diào)遞增．…（7分）
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（1）+f（1）=4，f（-2）=-f（2）=-4…（8分）
∴f（x）在[-2，2]上最大值為4，最小值為-4．…（9分）
（3）∵f（t²-2t）+f（t²-k）＞0，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴

f(t2-2t)＞-f(t2-k)=f(-t2+k)

…（11分）
由（2）可知f（x）在R上單調(diào)遞增，
∴t²-2t＞-t²+k，
∴k＜2t²-2t=2(t-

1

2

)2-

1

2

恒成立…（12分）
∴k＜-

1

2

…（14分）

點評：本題考查抽象函數(shù)及其用，著重考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性與最值，難點在于（2）中f（x）在R上單調(diào)遞增的分析，突出化歸思想的考查，屬于難題．