橢圓＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,2)，離心率e＝.

(1)求橢圓的方程；

(2)直線l：y＝kx－2(k≠0)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且滿足＝，·＝0，求直線l的方程．

 

【答案】

（1）橢圓方程為＋＝1.

（2）直線方程為y＝±x－2.

【解析】解：(1)設(shè)c＝，依題意

得即

∴a2＝3b2＝12，即橢圓方程為＋＝1.

(2)∵＝，·＝0，∴AP⊥MN，

且點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)，由消去y得x2＋3(kx－2)2＝12，

即(1＋3k2)x2－12kx＝0，(*)

由k≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k)2＝144k2>0，顯然方程(*)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

設(shè)M(x1，y1)、N(x2，y2)，線段MN的中點(diǎn)P(x0，y0)，

則x1＋x2＝，∴x0＝＝.

∴y0＝kx0－2＝＝，即P.

∵k≠0，∴直線AP的斜率為

k 1＝＝. 由MN⊥AP，得·k＝－1，

∴2＋2＋6k2＝6，解得k＝±， 故直線方程為y＝±x－2.

 

練習(xí)冊系列答案
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橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(－c,0)、F2(c,0)，M是橢圓上一點(diǎn)，且F1M·＝0，則離心率e的取值范圍是________．

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已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為    (    )

A、＋＝1      B、＋＝1     C、＋＝1 D、＋＝1

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( (本小題滿分13分)

已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，短軸一頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線夾角為120°.

(1)求橢圓的方程；   

(2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－a,0)，點(diǎn)Q(0，m)在線段AB的垂直平分線上且·≤4，求m的取值范圍.

 

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Ａ．         Ｂ．              Ｃ.            Ｄ.

 

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