Question

選修4-5：不等式選講
已知x∈(0，

π

2

)，試求函數(shù)f(x)=3cosx+4

1+sin2x

的最大值．（自編題）

Answer 1

分析：由已知中x∈(0，

π

2

)，可知x的各三角函數(shù)值均為正，又由函數(shù)f(x)=3cosx+4

1+sin2x

，我們可設(shè)

m

=(3，4)，

n

=(cosx，

1+sin2x

)，由向量數(shù)量積的定義可得f(x)=3cosx+4

1+sin2x

=|

m

•

n

|，進(jìn)而根據(jù)|

m

•

n

|≤|

m

||

n

|得到答案．

解答：解：設(shè)

m

=(3，4)，

n

=(cosx，

1+sin2x

)，
則f(x)=3cosx+4

1+sin2x

=|

m

•

n

|≤|

m

||

n

|=

32+42

•

cos2x+1+sin2x

=5

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

m

∥

n

時，上式取“=”．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義，其中根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，將問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問題，進(jìn)而根據(jù)向量模的性質(zhì)構(gòu)造不等式是解答本題的關(guān)鍵．