Question

函數f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象交y軸于點P，且函數圖象在P點處的切線方程為12x-y-4=0，若函數f（x）在x=2處取得極值為0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的單調增區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數f（x）與y軸交點P的坐標，然后求出導函數f′（x），根據題意可知f′（2）=0，f′（0）=12，f（2）=0，以及切點P在切線上建立方程組，解之即可求出函數的解析式；
（2）先求出導函數f′（x），然后令f′（x）＞0可求出函數f（x）的單調增區(qū)間．
解答：解：（1）函數f（x）與y軸交點P（0，d），
又f′（x）=3ax²+2bx+c，f′（2）=12a+4b+c=0，①
又函數f（x）在x=2處取得極值為0，所以f（2）=8a+4b+2c+d=0，②
又切線的斜率k=12，所以f′（0）=c=12，③
過P點的直線y-d=12（x-0）⇒12x-y+d=0  ④
解①，②，③，④得a=2，b=-9，c=12，d=-4
所以f（x）=2x³-9x²+12x-4
（2）f′（x）=6x²-18x+12＞0得x＞2或x＜1．
函數f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞）
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數在某點取得極值的條件，同時考查了方程組的求解，屬于中檔題．