Question

定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，若f（x）+f（x-

1

2

）＜0，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題考察函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)得到函數(shù)在定義域[-1，1]內(nèi)為增函數(shù)，然后由f（x）+f（x-

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2

）＜0得到x＜

1

2

-x，再加上定義域的要求解出x范圍即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則非f（0）=0，
又∵函數(shù)f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∵f（x）+f（x-

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2

）＜0，
∴f（x）＜-f（x-

1

2

），
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）＜f（

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2

-x），
∵函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴

-1≤x≤1 -1≤ 1 2 -x≤1 x＜ 1 2 -x

解之得-

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≤x＜

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4

故x的取值范圍為[-

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，

1

4

）

點(diǎn)評：本題主考查抽象函數(shù)的周期性、對稱性以及偶函數(shù)，抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達(dá)式，但是有一定的對應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．抽象函數(shù)的抽象性賦予它豐富的內(nèi)涵和多變的思維價值，可以考查類比猜測，合情推理的探究能力和創(chuàng)新精神．本題容易忽略掉定義域要求產(chǎn)生錯誤，f（x）和f（

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2

-x）有意義要求-1≤x≤1且-1≤

1

2

-x≤1．