Question

已知動圓M與直線l：x=-

1

2

相切且與圓F：(x-1)2+y2=

1

4

外切．
（1）求圓心M的軌跡C方程；
（2）過定點D（m，0）（m＞0）作直線l交軌跡C于A，B兩點，E是D點關于坐標原點O的對稱點，求證：∠AED=∠BED．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設M（x，y），由|MF|-(x+

1

2

)=

1

2

，由此能求出圓心的軌跡C的方程．
（2）設直線l的方程為x=ty+m（m＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，x₂），則A，B兩點的坐標滿足方程組：

x=ty+m y2=4x

，去并x整理，得y²-4ty-4m=0，y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m，由此結合已知條件能證明：∠AED=∠BED．

解答： 解：（1）設M（x，y），
∵動圓M與直線l：x=-

1

2

相切且與圓F：(x-1)2+y2=

1

4

外切，
∴|MF|-(x+

1

2

)=

1

2

，
∴|MF|=x+1，∴

(x-1)2+y2

=x+1，
整理，得y²=4x．
∴圓心M的軌跡C方程為y²=4x．…（5分）
（2）依題意，設直線l的方程為x=ty+m（m＞0），
A（x₁，y₁），B（x₂，x₂），
則A，B兩點的坐標滿足方程組：

x=ty+m y2=4x

，
消去并x整理，得y²-4ty-4m=0，
∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m…（7分）
設直線AE和BE的斜率分別為k₁，k₂，
則：k1+k2=

y1

x1+m

+

y2

x2+m

=

y1(x2+m)+y2(x1+m)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 y1 y 2 2 + 1 4 y2 y 2 1 +m(y1+y2)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 y1y2(y1+y2)+m(y1+y2)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 (-4m)(4t)+4mt

(x1+m)(x2+m)

=0…(11分)
∴tan∠AED+tan∠（180°-∠BED）=0，
∴tan∠AED=tan∠BED，
∵0＜∠AED＜

π

2

，0＜∠BED＜

π

2

∴∠AED=∠BED…(13分)

點評：本題考查圓心的軌跡方程的求法，考查兩角相等的求法，解題時要認真審題，注意圓的方程、直線方程、拋物線方程等知識點的合理運用．