Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求△ABC的外接圓的面積；
（Ⅱ）若c=2，sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a=2，b=3，C=，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC
=4+9-2×2×3×
=7，
∴c=，設(shè)其外接圓半徑為R，則2R=，故R=，
∴△ABC的外接圓的面積S=πR²=；
（Ⅱ）∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA，
∴sinBcosA=2sinAcosA
當(dāng)cosA=0時(shí)，∠A=，∠B=，a=，b=，可得S=；
當(dāng)cosA≠0時(shí)，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a…①，
∵c=2，∠C=60°，c²=a²+b²-2abcosC
∴a²+b²-ab=4…②，
聯(lián)立①①解得a=，b=，
∴△ABC的面積S=absinC=absin60°=．
綜上可知△ABC的面積為．
分析：（Ⅰ）a=2，b=3，C=，由余弦定理可求得c，再利用正弦定理可求得△ABC的外接圓的半徑，從而可求△ABC的外接圓的面積；
（Ⅱ）利用三角函數(shù)間的關(guān)系將條件轉(zhuǎn)化為：sinBcosA=2sinAcosA，對cosA分cosA=0與cosA≠0討論，再分別借助正弦定理，通過解方程組與再由三角形的面積公式即可求得△ABC的面積．
點(diǎn)評：本題考查余弦定理與正弦定理，考查轉(zhuǎn)化與方程思想的綜合運(yùn)用，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬于難題．